Ensembles et fonctions

Ensembles

Opérateurs

On considère un univers $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Étant donnés les ensembles suivants

$$A = \{1, 2, 3, 4\},\; B = \{4, 5, 6, 7\},\; C = \{1, 3, 5, 7\},\; D = \{2, 3, 4, 5, 6\},$$

calculer

1. $\overline{A}, A \cup C, \overline{A \cup C}, A \cap C, \overline{A \cap C}$,
2. $(A \cap B) \cup (C \cap D), (A \cup C) \cap (B \cup D)$,
3. $A \backslash D, D \backslash A$.

Diagrammes de Venn

On suppose que $A \cup B = B \cap C$ et que $C\subset E$. Dessiner les diagrammes de Venn de $A$, $B$, $C$ et $E$.

---

Comparer les diagrammes de Venn

1. de $\overline{A\cup B}$ et $\overline{A}\cap\overline{B}$;
2. de $\overline{A\cap B}$ et $\overline{A}\cup\overline{B}$.

Ensembles et calcul des propositions

Soient $A$, $B$, $C$ trois ensembles dans un univers $U$. Démontrer les propriétés suivantes.

1. La distributivité: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

2. Les lois de de Morgan: $\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

3. $A \backslash B = A \cap \overline{B}$.

4. $A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

5. $A \cap B = A \cap C$ si et seulement si $A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}$.

Fonctions

Rappel: Si $f:A\to B$ est une fonction, et si $C\subset B$ est un sous-ensemble de $B$, on note $f^{-1}(C)$ l’image inverse de $C$ par $f$, c’est à dire l’ensemble des $x\in A$ tels que $f(x)\in C$.

Soit $f : E\to F$ une fonction totale (une application). Soient $A$ et $B$ des sous-ensembles de $E$ et soient $C$ et $D$ des sous-ensembles de $F$. A-t-on nécessairement:

1. $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$,
2. $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$,
3. $f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$,
4. $f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$,
5. $f^{-1}(f(A)) = A$,
6. $f(f^{-1}(C)) = C$.

Justifier chaque cas par une preuve ou par un contre-exemple.

Injectivité et surjectivité

Rappel: si $n$ est un nombre réel, la notation $\lfloor n\rfloor$ désigne la partie entière inférieure de $n$, c’est à dire le plus grand entier plus petit ou égal à $n$. La notation $\lceil n\rceil$ désigne la partie entière supérieure de $n$, c’est à dire le plus petit entier plus grand ou égal à $n$.

Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives ou aucune des deux.

1. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ définie par $f(n) = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$.

2. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ définie par $f(n) = 2n$.

3. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ définie par $f(n) = (-1)^n\lceil\frac{n}{2}\rceil$.

4. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ définie par $f(x) = x + 1$.

5. $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ définie par $f(x) = x + 1$.

---

Interpréter les phrases suivantes en terme d’injectivité et de surjectivité.

1. Il existe des nombres entiers relatifs (i.e., dans $\mathbb{Z}$) différents qui ont le même carré.
2. Tout nombre réel positif a une racine carrée.
3. Le nombre 3 n’est le sinus d’aucun nombre.
4. Un nombre complexe est caractérisé par ses parties réelle et imaginaire.

---

Rappel: Si $f:A\to B$ et $g:B\to C$ sont deux fonctions, on note $g\circ f$ la composée de $g$ et de $f$, i.e. la fonction $g\circ f:A\to C$ définie par $g\circ f(x) = g(f(x))$.

Soient $f : A \to B$ et $g : B \to C$ deux fonctions et $h = g \circ f$. Montrer les propositions suivantes.

1. Si $h$ est surjective alors $g$ est surjective.
2. Si $h$ est injective alors $f$ est injective.
3. Si $h$ est injective et $f$ est surjective alors $g$ est injective.
4. Si $h$ est surjective et $g$ est injective alors $f$ est surjective.

Les implications réciproques sont-elles vraies ?